Question

已知抛物线y²=x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围.

Answer 1

-2<k<0即为所求.

解析:

解法一：设抛物线上的点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)关于直线l对称，则y₁²=x₁,y₂²=x₂.

两式相减得(y₁+y₂)·(y₁-y₂)=x₁-x₂,即y₁+y₂=.

∵=k_AB=-,∴y₁+y₂=-k.∴=-.

∵AB中点在直线l上，∴可得=-,即弦的中点为(-,-).

∴由点斜式可得AB：y+=-(x-+)，即x=-ky--.

代入y²=x中得y²+ky++-=0.

由Δ=k²-4·(+-)>0,得-2<k<0即为所求.

解法二：设抛物线上的点A(y₁²,y₁)、B(y₂²,y₂)关于直线l对称，则

∴y₁、y₂是方程t²+kt++-=0的两个不同根.

∴Δ=k²-4(+-)>0,得-2<k<0即为所求.