Question

（2012•福建模拟）定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0．现给出如下结论：
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0；            ②?x₀∈[a，b]，f（x₀）＞f（b）；
③?x₀∈[a，b]，f（x₀）≥f（a）；      ④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f'（x₀）（a-b）．
其中结论正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：函数及其导函数的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，说明函数在区间[a，b]内至少有一个增区间和一个减区间．

解答：解：定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，说明在区间（a，b）内存在x₀，使f^′（x₀）=0，
所以函数f（x）在区间（a，b）内有极大值点，同时说明函数在区间[a，b]内至少有一个增区间和一个减区间．
由上面的分析可知，函数f（x）在区间[a，b]上不一定有零点，故①不正确；
因为函数在区间（a，b）内有极大值点，与实数b在同一个减区间内的极大值点的横坐标就是存在的一个x₀，所以②正确；
函数f（x）在区间[a，b]的两个端点处的函数值无法判断大小，若f（b）＞f（a），取x₀=a，则③不正确；
当f（a）＞f（b），且x₀是极大值点的横坐标时结论④正确．
故选B．

点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性，主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．