Question

已知定义在R上的函数f(x)=

1 x∈[0，1] x-3 x∉[0，1]

，则f[f（x）]=1成立的整数x的取值的集合为

{0，1，3，4，7}

．

Answer 1

分析：由函数f（x）是定义在R上的分段函数，利用分类讨论的数学思想方法对自变量x的进行分类，再解相应的方程即可得到成立的整数x的集合．

解答：解：∵定义在R上的函数f(x)=

1 x∈[0，1] x-3 x∉[0，1]

，
①当0≤x≤1时，f（x）=1，
∴f[f（x）]=f[1]=1，
∴当x=0，1时，f[f（x）]=1，
②当3≤x≤4时，f（x）=x-3∈[0，1]，
∴f[f（x）]=f[x-3]=1，
∴当x=3，4时，f[f（x）]=1，
③当x∉[0，1]∪[3，4]时，f（x）=x-3，
∴f[f（x）]=f[x-3]=x-6=1，∴x=7，
∴当x=7时，f[f（x）]=1，
∴f[f（x）]=1成立的整数x的取值的集合为{0，1，3，4，7}
故答案为：{0，1，3，4，7}．

点评：本小题主要考查函数的概念及其构成要素、集合的表示法、分段函数等基本知识，考查分类讨论等数学思想方法