Question

（2012•闵行区三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A+C=2B，cosC=

1

7

，a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：先由条件求得B，利用同角三角函数的基本关系求得sinC，再由sinA=sin（

2π

3

-C）=sin（C+

π

3

）利用两角和差的正弦公式求得结果，再由正弦定理求得c的值，再根据三角形的面积为S=

1

2

acsinB，运算求得解果．

解答：解：在△ABC中，∵A+C=2B，且A+B+C=π，∴B=

π

3

，（2分）
又cosC=

1

7

可，得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

，
∴sinA=sin（

2π

3

-C）=sin（C+

π

3

）=sinCcos

π

3

+cosCsin

π

3

=

4 3

7

•

1

2

+

1

7

•

3

2

=

5 3

14

，（6分）
在△ABC中，由正弦定理  

c

sinC

=

b

sinB

=

a

sinA

，∴c=

asinC

sinA

=8，（8分）
三角形面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

．（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．