Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ） 求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ） 求证：C₁A⊥B₁C；
（Ⅲ） 求直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角．

Answer 1

分析：（I）欲证A₁B∥平面ADC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B与平面ADC₁内一直线平行，连接A₁C交C₁A与点O，连接DO，根据中位线定理可知BO∥A₁B，而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，满足定理所需条件；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，根据线面垂直的判定定理可知C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C，根据线面垂直的性质可知C₁A⊥B₁C；
（Ⅲ）连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OB₁，证明C₁B₁O为直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角，从而可得结论．

解答：（I）证明：连接A₁C交C₁A与点O，连接DO
∵ACC₁A₁均为正方形∴点O为A₁C的中点
而D为BC中点∴BO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）证明：由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，则AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）解：连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OB₁，
∵ACC₁A₁为正方形，∠BAC=90°
∴AC₁⊥A₁C，AC₁⊥A₁B₁，
∴AC₁⊥平面A₁B₁C
∴∠C₁B₁O为直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角
∵C₁O=

1

2

C₁A=

1

2

C₁B₁
∴∠C₁B₁O=30°．

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和点到平面的距离，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与化归的思想，属于中档题．