Question

如图,在多面体ACBDE中,AE⊥平面ABC,且BD∥AE,AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD的中点.

(1)求证:EF⊥平面BCD;

(2)求多面体ACBDE的体积.

Answer 1

思路分析:(1)直接证EF⊥平面BCD比较困难,注意到中点,考虑将EF平行移动,实现问题的转化;(2)视ACBDE为以ABDE为底的四棱锥.

(1)证明：取BC的中点G,连结FG、AG,则FG=BD=1=AE,且FG∥BD∥AE,

    ∴AGFE是平行四边形.

    ∴EF∥AG.在△ABC中,

    ∵AB=AC,G为BC中点,

    ∴AG⊥BC.

    又∵AE⊥平面ABC,且AG平面ABC,

    ∴AE⊥AG.∴AG⊥FG.

    而FG、BC相交,

    ∴AG⊥平面BCD,从而EF⊥平面BCD.

(2)解:设AB中点为H,因为AC=AB=BC=2,∴CH⊥AB,且CH=.

    又AE⊥平面ABC,∴平面ABDE⊥平面ABC.

    ∴CH⊥平面ABDE,于是V_C—ABDE=S_{四边形ABDE}=·CH.