Question

7．在数列{a_n}种，a₁=1，${a_{n+1}}={（{-1}）^n}（{{a_n}+1}）$，记S_n为{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₇=-1007．

Answer 1

分析 ${a_{n+1}}={（{-1}）^n}（{{a_n}+1}）$，可得a_2n+1=a_2n+1，a_2n=-a_2n-1-1．因此a_2n+1+a_2n-1=0，a_2n+2+a_2n=-2．利用分组求和即可得出．

解答 解：∵${a_{n+1}}={（{-1}）^n}（{{a_n}+1}）$，∴a_2n+1=a_2n+1，a_2n=-a_2n-1-1．
∴a_2n+1+a_2n-1=0，a_2n+2+a_2n=-2．
∴S₂₀₁₇=a₁+（a₃+a₅）+…+（a₂₀₁₅+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）
=1+0-2×504
=-1007．
故答案为：-1007．

点评 本题考查了分类讨论方法、分组求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．