Question

有几个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这几个圆将平面分成f(n)＝n²－n＋2个部分．(n∈N₊)

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立． 　　(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分． 　　则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2． 　　∴当n＝k＋1时，命题成立． 　　综上(1)(2)可知，对一切n∈N+，命题成立． 　　思路分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n． 　　有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解．

提示：

对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如说本题，n＝k＋1时的结果已知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就好理解了．