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       如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点 

       为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、,

       且成等比数列.

      (1) 求动点的轨迹方程；

      (2) 求动点到直线距离

         的最大值及取得最大值时点的坐标．

    解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延

    长线于.

    在中, , 得，

    得.　　　　　　　　　

    在中, ,

    得.　　　　　　　　　　

    同理可得.　　　　　　　

    ∵ 成等比数列，

    ∴ .

    ∴ .

    化简得.

    ∴ 动点的轨迹方程为.　　　

    (2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大.

     设与直线平行的直线方程为，代入，

    得 ，①　　　　　　　　　　　　　　　　

    由，

    解得，由，得.　　　　　　　　　　　　　　　

    故点到直线距离的最大值为.　　　　　

    把代入①式，可解得点的坐标为.　　　　　　

    练习册系列答案
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    矩形
    ，面积为
    8
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    （2013•怀化三模）如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2
    		2
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    （1）求证：BO⊥DO；
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    如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列．

       （1）求动点的轨迹方程；

       （2）求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    科目：高中数学 来源：2010年长春市十一高中高一下学期期末考试（数学理） 题型：解答题

     

    如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列．

       （1）求动点的轨迹方程；

       （2）求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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