Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB、PB的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：AB⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由D，E分别是AB，PB的中点，根据三角形中位线定理，可得DE∥PA，利用线面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；
（2）由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB．

解答：证明：（1）∵D，E分别是AB，PB的中点，
∴DE∥PA．
又∵PA?平面PAC，DE?平面PAC
∴DE∥平面PAC；
（2）∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，
∴AB⊥PB．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，属于中档题．