Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差、等比数列，且a₁=l，d＞0，a₂=b₂,a₅=b₃，a₁₄=b₄(n∈N^*)．

(Ⅰ)求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)设C_n=a_n·b_n，求数列{C_n}的前n项和．

Answer 1

解：(Ⅰ)由a₂、a₅、a₁₄成等比数列，知(a₁+d)(a₁+13d)=(a₁+4d)²，解得

2a₁d=d²，由a₁=1，且d＞0得d=2；

∴ a_n=2n-1，(n∈N^*)，

又由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，a₅=9，知b_n=3^n-1，(n∈N^*)；

(Ⅱ)由c_n=a_n·b_n=(2n-1)·3^n-1，设S_n是{c_n}的前n项和，则

S_n=c₁+c₂+…+c_n

=1．3⁰+3·3¹+5·3²+…+(2n-1)·3^n-1

3S_n=1·3¹+3·3²+5·3³+…+(2n-1)·3ⁿ

两式相减得：

-2S_n=1+2·3¹+2·3²+…+2·3^n-1-(2n-1)·3ⁿ

-2S_n=1-(2n-1)·3ⁿ+2×

=(2-2n)·3ⁿ-2

故S_n=(n-1)3ⁿ+1(n∈N^*).