Question

已知函数．（a∈R）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）设方程x²-2ax-1=0的两实根为m，n（m＜n），证明函数f（x）是[m，n]上的增函数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）结合题意分别讨论：当a=0时与当a≠0时，函数的奇偶性，当a≠0时，取x=±1，得，，即可得到答案．
（Ⅱ）利用导数判定函数的单调性，再利用二次函数的性质判定其导数与0的大小，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）当a=0时，，
对任意x∈（-∞，+∞），，
∴f（x）为奇函数．  
当a≠0时，，
取x=±1，得，，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．  
（Ⅱ）证明：因为，
所以
=
设g（x）=x²-2ax-1，当x∈[m，n]时，g（x）≤0，即x²-2ax-1≤0，
-4（x²-2ax-1）≥0，
∴．
所以f（x）在区间[m，n]上是增函数．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，并且熟练利用导数判定函数的单调性．