Question

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是,且当x∈时，f（x）=sinx.

（1）求当x∈［-，0］时，f(x)的解析式；

（2）画出函数f(x)在［-，］上的函数简图；

（3）求当f(x)≥时，x的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)=-sinx（2）见解析（3）当x∈,k∈Z时，f(x)≥

解析:

（1）∵f(x)是偶函数，∴f（-x）=f（x）.

而当x∈时，f(x)=sinx.∴当x∈时，

f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

又当x∈时，x+∈，

∵f（x）的周期为，∴f（x）=f(+x)=sin(+x)=-sinx.

∴当x∈［-,0］时，f(x)=-sinx.

（2）如图：

（3）由于f(x）的最小正周期为,

因此先在［-，0］上来研究f(x)≥,

即-sinx≥,∴sinx≤-,∴-≤x≤-.

由周期性知，

当x∈,k∈Z时，f(x)≥.