Question

设椭圆过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(4分)因为椭圆E：(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点， 　　所以解得所以椭圆E的方程为 　　(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为解方程组得，即， 　　则△＝，即 　　 　　　　要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，(3分) 　　而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．(1分) 　　因为 　　所以， 　　 　　， 　　①当时 　　因为所以， 　　所以， 　　所以当且仅当时取”＝”． 　　当时，． 　　当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，(3分)