Question

设0＜a、b、c＜1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数不可能同时大于.

Answer 1

思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.

证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数都大于,

即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞.

以上三式相乘得(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a＞,

亦即(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c＞.                    ①

又∵0＜a＜1,

∴0＜(1-a)a≤［］²=.

同理,0＜(1-b)b≤,0＜(1-c)c≤.

以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾.

∴假设不成立，故命题获证.