Question

将一边长为1和

3

的长方形ABCD沿AC折成直二面角B-AC-D，若A、B、C、D在同一球面上，则V_球：V_A-BCD=（　　）

• A、

  16

  3

  π
• B、

  8

  3

  π
• C、16π
• D、8π

Answer 1

分析：说明球心到四面体四个顶点的距离相等，转化为球心到任意一个直角三角形的三个顶点的距离相等；说明球的在斜边中点，然后求出球的体积以及四面体的体积，然后求出体积比．

解答：解：∵球的球心到四面体四个顶点的距离相等，
∴球心到任意一个直角三角形的三个顶点的距离相等；
∴球心应当在经过直角三角形斜边中点并垂直于直角三角形的直线上，
这样就得到了两条直线，它们的交点就是两个直角三角形斜边AC的中点，
∴球半径就是1．
∴四面体A-BCD的外接球的体积V_球=

4π

3

，V_A-BCD=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

2

=

1

4

．
∴V_球：V_A-BCD=

4π

3

：

1

4

=

16

3

π．
故选：A．

点评：本题考查球的体积和三棱锥的体积，折叠问题，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．