Question

（2007•南通模拟）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=

2

，BC=1，A₁A=2，M为AB的中点，E、F分别为A₁M和AD₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线EF⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求直线AD与平面AEF所成角的大小．

Answer 1

分析：本题可以用平面几何的方法求解也可用空间向量的方法求解：
法一：平面几何法．
    （1）利用线面垂直的判定定理证明直线EF⊥平面AA₁C₁C：可延长AE交A₁B₁于点N则易得点N为A₁B₁的中点而E，F分别是A₁M，AD₁的中点故根据中位线定理可得EF∥D₁N则问题转化为证明D₁N⊥平面AA₁C₁C然后利用长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性质和平面几何的有关知识证出A₁C₁⊥D₁N 且AA₁⊥D₁N则即可得证．
    （2）由（1）可知面AEF即面AD₁N，而AD∥A₁D₁故直线AD与平面AEF所成角的大小就转化为直线A₁D₁与面AD₁N所成角的大小．可过点A₁作A₁H⊥AN，垂足为H，连D₁H，由三垂线定理可得D₁H⊥AN故由线面垂直的判定定理可得AN⊥平面A₁D₁H再由面面垂直的判定定理可得面A₁D₁H⊥平面AEF故A₁D₁在平面AEF中的射影即为D₁H然后根据线面角的定义可得∠A₁D₁H就是A₁D₁与平面AEF所成的角最后在Rt△AA₁N中求出∠A₁D₁H即可．
法二：空间向量法．首先建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立空间坐标系．
（1）求出

EF

，

AA1

，

AC

然后利用向量数量积的坐标计算公式得出

EF

•

AC

=0，

EF

•

AA1

=0即

EF

⊥

AA1

，

EF

⊥

AC

然后根据线面垂直的判定定理即可得证．
（2）先求出平面AEF的一个法向量

n

，再求出

AD

，根据向量的夹角公式可求出cos＜

n

，

AD

＞=

n •  AD

| n || AD|

，若cos＜

n

，

AD

＞＞0则直线AD与平面AEF所成角为

π

2

-＜

n

，

AD

＞，若cos＜

n

，

AD

＞＜0则直线AD与平面AEF所成角为＜

n

，

AD

＞-

π

2

．

解答：（本小题满分14分）
解法一：（I）延长AE交A₁B₁于点N，则点N为A₁B₁的中点．连D₁N
∵E，F分别是A₁M，AD₁的中点，
∴EF∥D₁N．…（2分）
在Rt△A₁C₁D₁与Rt△ND₁A₁中，∵

A1D1

C1D1

=

NA1

D1A1

=

2

2

∴Rt△A₁C₁D₁∽Rt△ND₁A₁，∴A₁C₁⊥D₁N …（4分）
又∵AA₁⊥D₁N，A₁C₁∩AA₁
∴D₁N⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（II）过点A₁作A₁H⊥AN，垂足为H，连D₁H，由三垂线定理得D₁H⊥AN，
∴AN⊥平面A₁D₁H
∴平面A₁D₁H⊥平面AEF
∴A₁D₁在平面AEF中的射影即为D₁H
∴∠A₁D₁H就是A₁D₁与平面AEF所成的角 …（10分）
在Rt△AA₁N中，AA₁=2，A₁N=

2

2

，
∴A₁H=

2× 2 2

4+ 1 2

=

2

3

．tan∠A1D1H=

A1H

A1D1

=

2

3

故直线A₁D₁与平面AEF所成的角为arctan

2

3

．
∵AD∥A₁D₁
∴直线AD与平面AEF所成角的为arctan

2

3

．…（14分）
解法二：（I）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立空间坐标系.

则A(0，0，0)，B( 2 ，0，0)，C( 2 ，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1( 2 ，0，2)，C1( 2 ，0，0)，D(0，1，2，). ∴ AA1 =(0，0，2)， AC =( 2 ，1，0). 又M( 2 2 ，0，0)，E( 2 4 ，0，1)，F(0， 1 2 ，1)，

∴

EF

=(-

2

4

，

1

2

，0)．…（3分）

由 EF • AA1 =(- 2 4 ， 1 2 ，0)•(0，0，2)=0， EF • AC =(- 2 4 ， 1 2 ，0)•( 2 ，1，0)=0，

∴

EF

⊥

AA1

，

EF

⊥

AC

．
又∵A₁C₁∩AA₁=A₁
∴EF⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（II）设向量n=（1，x，y）是平面AEF的一个法向量
由（I）可得

AE

=(-

2

4

，0，1)，

AF

=(0，

1

2

，1)．…（8分）
由

AE

•n=0，

AF

•n=0，得

1 2 x+y=0 2 4 +y=0.

解之，得

x= 2 2 y=- 2 4 .

故n=(1，

2

2

，-

2

4

)．…（11分）
设直线AD与平面AEF所成的角为α，则sin=|

n• AD

|n|•| AD |

|=

2 2

1+ 1 2 + 1 8

=

2 13

13

．
所以设直线AD与平面AEF所成的角为arcsin

2 13

13

．…（14分）

点评：本题主要考察了线面垂直的证明和线面角的求解．解题的思路常用平面几何法和空间向量法但平面几何法要求极强的逻辑推理能力但不计算量较小而空间向量法不仅考察空间直角坐标系的正确建立还要求有极强的计算能力但思路简单，所以在解题中我们可两种方法交替使用灵活解题！