Question

（2013•唐山一模）x₀函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（O，π））的零点，x₁＜x₂?，则
①x₀∈（1，e）；
②x₀∈（1，π）；
③f（x1）-f（x2）＜0；
④f（x1）-f（x2）＞0．
其中正确的命题为（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；
求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．

解答：解：∵f（1）=2sin1-πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，
又∵f^′（x）=2cosx-

π

x

，当x∈（0，

π

2

]时，2cosx＜2，

π

x

＞2，
∴f^′（x）＜0；
当x∈（

π

2

，π）时，cosx＜0，∴f^′（x）＜0，
∴函数在（0，π）上是减函数，
故①④正确．
故答案是①④．

点评：本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性．