Question

已知函数f（x）在R上是偶函数，当x＜0时，f(x)=

x2-kx+1

x2+1

，
（1）若当x＞0时，求f（x）的表达式；
（2）若当x＞0时，f（x）的最小值为-1，求实数k的取值．

Answer 1

分析：（1）当x＞0时，-x＜0，代入已知式子结合偶函数的性质可得；（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）=

x2+kx+1

x2+1

=1+

k

x+ 1 x

，分类讨论结合基本不等式可得．

解答：解：（1）当x＞0时，-x＜0，
∴f(-x)=

x2+kx+1

x2+1

，
由偶函数的性质可得f（x）=f(-x)=

x2+kx+1

x2+1

，
∴当x＞0时，求f（x）的表达式为f（x）=

x2+kx+1

x2+1

；
（2）由（1）知，当x＞0时，
f（x）=

x2+kx+1

x2+1

=1+

kx

x2+1

=1+

k

x+ 1 x

，
当k＞0时，由基本不等式可得1+

k

x+ 1 x

≤1+

k

2

，f（x）有最大值，不合题意，
当k=0时，1+

k

x+ 1 x

=1，f（x）没有最小值，不合题意，
当k＜0时，1+

k

x+ 1 x

≥1+

k

2

，令1+

k

2

=-1可得k=-4，
综上可得：实数k的值为-4

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及分类讨论的思想和基本不等式，属中档题．