Question

设a₁,a₂,a₃,…,a_n∈R且0＜a_n＜1(n∈N^*),求证：a₁a₂a₃…a_n＞a₁+a₂+…+a_n+1-n(n≥2,n∈N^*).

Answer 1

证明:①n=2时，∵（1-a₁）(1-a₂)＞0,

∴a₁a₂＞a₁+a₂+1-(1+1)成立.

②设n=k(n≥2)时原不等式成立，

即a₁a₂…a_k＞a₁+a₂+…+a_k+1-k成立，

则a₁a₂…a_k+a_k+1-1＞a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+1-(k+1)成立.

∴要证明n=k+1时原不等式成立，

即a₁a₂…a_ka_k+1＞a₁+a₂+…+a_k+1+1-(k+1)成立,

只需证明不等式

a₁a₂…a_ka_k+1＞a₁a₂…a_k+a_k+1-1(*)成立.

要证明不等式（*）成立，只需证明

(a₁a₂…a_k-1)(a_k+1-1)＞0.

又∵0＜a_i＜1(i=1,2，…,k,k+1)恒成立，

∴0＜a₁a₂…a_k＜1.

∴(a₁a₂…a_k-1)(a_k+1-1)＞0成立.

∴不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N^*（n≥2）原不等式成立.