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    比较（n+1）2与3n的大小（n∈N*）.

    解：当n=1时，左=（1+1）2=4，右=3，左>右；

    当n=2时，左=9=右；

    当n=3时，左=16<27=右；

    当n=4时，左=25<81=右.

    由此猜想，当n≥3时，（n+1）2<3n.

    证明：（1）当n=3时，不等式成立.

    （2）假设n=k（k≥3，k∈N*）时，（k+1）2<3k.

    则当n=k+1时，

    3k+1=3·3k>3（k+1）2.

    下面只需证3（k+1）2>（k+2）2.

    即证3k2+6k+3>k2+4k+4，

    亦证2k2+2k>1.

    当k≥3时，上式显然成立.

    所以，当n=k+1时，命题成立.

    所以，由（1）（2）可知对n≥3，n∈N*，命题成立.

    综上知，当n≤2时，（n+1）2≥3n；

    当n≥3时，（n+1）2<3n.

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    5
    2
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    1
    2
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    1
    2
    a
    2
    n
    -an+c    （c＞1为常数，n=1，2，3，…），且a3-a2=
    1
    8
    .
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    （Ⅱ）①证明：an＜an+1；
    ②猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
    （Ⅲ）比较
    n
    k=1
    1
    ak
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    40
    39
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    an
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    bk
    bk+1
    ≤
    bn
    bn+1
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    （Ⅱ）令cn=
    1
    bn+1
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    1
    6
    的大小．

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