Question

17.已知函数y=cos²x+sinxcosx+1，x∈R.

（Ⅰ）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（Ⅱ）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

17.本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.

解：

（Ⅰ）y=cos²x+sinxcosx+1

=（2cos²x－1）＋＋（2sinxcosx）+1

=cos2x+sin2x+

=+

=sin（2x+）+，                            

y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，

即x=+ kπ，k∈Z.

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x｜x=+ kπ，k∈Z｝.                      

 

（Ⅱ）将函数y=sin x依次进行如下变换：

（ⅰ）把函数y=sin x的图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象；

（ⅱ）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

y=sin（2x＋）的图象；

（ⅲ）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数

y=sin（2x＋）的图象；

（ⅳ）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数

y=sin（2x+）+的图象；

综上得到函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象.