Question

函数f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.

Answer 1

思路分析：由函数f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函数可以得到两个信息:

    ①对任意的1≤x₁＜x₂,总有f(x₁)＜f(x₂);

    ②当x≥1时,x+8-＞0恒成立.

解:∵函数f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函数,

    ∴对任意的1≤x₁＜x₂,有f(x₁)＜f(x₂),

    即log₉(x₁+8-)＜log₉(x₂+8-)得x₁+8-＜x₂+8-,即(x₁-x₂)(1+)＜0,

    ∵x₁-x₂＜0,∴1+＞0,

    ＞-1,a＞-x₁x₂.

    ∵x₂＞x₁≥1,∴要使a＞-x₁x₂恒成立,只要a≥-1.

    又∵函数f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函数,

    ∴1+8-a＞0,即a＜9.

    综上a的取值范围为［-1,9).

另解:(用导数求解)令g(x)=x+8-,

    ∵函数f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函数,

    ∴g(x)=x+8-在［1,+∞)上是增函数,g′(x)=1+.

    ∴1+8-a＞0且1+≥0在［1,+∞)上恒成立,得-1≤a＜9.