Question

如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A－BCD．

(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；

(2)若三棱锥A－BCD的体积为，求AC的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：因为是正方形， 　　所以，．1分 　　在折叠后的△和△中， 　　仍有，．2分 　　因为，所以平面．3分 　　因为平面， 　　所以平面平面．4分 　　(2)解：设三棱锥的高为， 　　由于三棱锥的体积为， 　　所以．5分 　　因为，所以．6分 　　以下分两种情形求的长： 　　①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点， 　　由(1)知平面，所以． 　　又，且，所以平面． 　　所以为三棱锥的高，即．7分 　　在△中，因为， 　　所以 　　．8分 　　在△中，因为， 　　则．9分 　　所以．10分 　　②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点， 　　由(1)知平面，所以． 　　又，且，所以平面． 　　所以为三棱锥的高，即．11分 　　在△中，因为， 　　所以 　　．12分 　　在△中，因为， 　　则．13分 　　所以． 　　综上可知，的长为或．14分