Question

小王和小李既是同学，又是邻居，在每一个月里，他们总是相约到一家小铺里去买若干次白糖。假设白糖的价格是变化的，而他们的购买方式又不一样。小王每一次总是买1千克白糖，小李每一次只拿1元钱来买白糖，而不管多少。试问：这两种买糖的方式哪一种比较合算？并说明理由。

Answer 1

答案：
解析：

解：设小王、小李一共买了n次（n∈N，n>1）白糖，且每次白糖的价格分别为a1，a2，…an（元/千克）。 小王每一次买1千克白糖，共花去a1+a2+…+an元，共买得n千克白糖，因此，小王平均每千克白糖的价格为x=。 小李每次只用1元钱买白糖，共花了n元，每次买得的白糖分别为，，…，。因此，小李平均每千克的白糖价格为y=。 从而问题转化为比较两个平均数x，y的大小。 比较大小是一个探索性问题，不妨对n取一些特殊值进行试验： 当n=1时，x=y； 当n=2时，y= 于是猜想x≥y，即 ≥。 下面证明猜想不等式的正确性。 方法1：由n元算术——几何均值不等式，得≥， 。 这两个不等式相乘，可得猜想不等式。 方法2：构造函数f(x)=(a1+a2+…+an)x2+2nx+()，则 f(x)=a1(x+)2+a2(x+)2+…+an(x+)2。 因为a1>0，a2>0，…，an>0， ∴f(x)≥0恒成立。 从而Δ=4n2－4(a1+a2+…+an)()2≤0， 即(a1+a2+…+an)()2≥n2。 故x≥y。 综上可知，除非价格稳定不变（a1=a2=…=an），否则小李的购糖方式总比小王的购糖方式合算。