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    在点处的切线的方程是                 。


    解析:

    ，∴，，即。

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    科目：高中数学 来源：2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学全解全析 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    已知曲线，点是曲线上的点.

    （1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；

    （2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；

    （3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，

    证明：

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.

    （1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；

    （2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；

    （3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，

    证明：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数是常数．

    （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

    （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

    （Ⅲ）讨论函数零点的个数．

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