Question

21.设函数f(x)=ax²+b lnx，其中ab≠0.

证明：当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；当ab＜0时.函数f(x)有且只有一个极值点.并求出极值.

Answer 1

证明：因为f(x)=ax²+b lnx，ab≠0，所以f(x)的定义域为(0，+∞).

f ′ (x)=2ax+.

当ab＞0时，如果a＞0，b＞0，f ′ (x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；

如果a＜0，b＜0，f ′ (x)＜0，f(x)在(0，+∞)上单调递减.

所以当ab＞0时，函数f(x)没有极值点.

当ab＜0时，

f ′ (x)=.

令f ′ (x)=0，

得x₁=(0，+∞)(舍去)，x₂=∈(0，+∞)，

当a＞0，b＜0时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x	(0,)		(，+∞)
f′(x)	－	0	+
f(x)	↘	极小值	↗

从上表可看出.

函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为f()=[1-ln()].

当a＜0，b＞0时，f ′ (x)、f(x)随x的变化情况如下表:

x	(0，)		(，+∞)
f′(x)	+	0	－
f(x)	↗	极大值	↘

从上表可看出，

函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f()=[1-ln()].

综上所述，

当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；

当ab＜0时，

若a＞0，b＜0时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为[1-ln()].

若a＜0，b＞0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为[1-ln()].