Question

如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD，并说明理由；?

(3)求二面角M-PB-D的大小.

Answer 1

(1)证明：取PD的中点为E，连结AE、ME，由M是PC的中点得

?

所以四边形MBAE是平行四边形BM∥AE，而AE平面PAD,故BM∥平面PAD.

(2)解：取AE的中点为N，易知AE⊥平面PCD，即N在平面PCD上的射影为E.?

∴由三垂线定理得MN⊥PD.?

又M在底面ABCD上的射影为F，则F为AC的中点，N在底面ABCD上的射影为G，则AG=AD=.

易知FG⊥BDMN⊥BD.?

故MN⊥平面PBD.                                                                                          ?

(3)解：如图，矩形BMEA中，EM=1，AE=，MN与BE的交点为O，?

则O为M在平面PBD上的射影，tan∠NME==cos∠NME=，?

∴MO=MEcOs∠NME=.?

过O作OQ⊥PB，由三垂线定理知MQ⊥PB，则∠MQO是二面角M-PB-D的平面角，易求MQ=,即sin∠MQO==.故二面角M-PB-D的大小为arcsin.