Question

四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥平面ABCD，若侧面PAB与侧面PCD所成的角为45°．

(Ⅰ)求点C到平面PAB的距离；

(Ⅱ)侧棱PB上是否存在一点E，使PB⊥平面ACE．若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)设PG=平面ABP∩平面PCD，

∵AB∥CD  ∴CD∥平面PAB，

又∵CD平面PCD，∴CD∥PG，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，PG⊥平面PAD，∴PG⊥PA，PG⊥PD，

∴∠APD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角，

∴∠APD=45°，  又AD=1，PD⊥AD，∴PD=1．

∵CD∥平面PAB，

∴点D到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．作DH⊥PA于H，可证DH为点D到平面PAB的距离，DH=，

∴点C到平面PAB的距离为．

(Ⅱ)存在点E使PB⊥平面AEC．

连结BD，BD⊥平面AC，又BD⊥AC，∴PB⊥AC 

若PB⊥平面ACE，只需PB⊥AE，

PA=，AB=1，PB=，AE=，PE=，

∴当时，PB⊥平面AEC．