Question

在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.

(1)求证:CM⊥EM;

(2)求CM与平面CDE所成的角.

Answer 1

解：如下图,以点C为坐标原点,以CA,CB分别作为x轴和y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立直角坐标系C—xyz.设EA=a,则

A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a),D(0,2a,2a),M(a,a,0).

(1)证明:∵=(-a,a,-a),=(a,a,0),

∴·=0,故EM⊥CM.

(2)设向量n=(1,y₀,z₀)与平面CDE垂直,

则n⊥,n⊥,

即n·=0,n·=0.

因为=(2a,0,a),=(0,2a,2a),

所以y₀=2,z₀=-2,

即n=(1,2,-2),

cos〈n,〉=

直线CM与平面CDE所成的角θ是n与夹角的余角,所以θ=45°,

因此直线CM与平面CDE所成的角是45°.