Question

如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=PA=a,且△ABC为正三角形,M、N为边PB、PC上的点,PC⊥平面AMN.

(1)求PB与平面PAC所成的角;

(2)求的值;

(3)求二面角P-AM-N的大小.

Answer 1

解：(1)取AC中点D,连结BD、PD.

∵PA⊥平面ABC,PA平面PAC,△ABC为正三角形,

∴BD⊥平面PAC,PD为PB在平面PAC上的射影.

∴∠BPD即为PB与平面PAC所成的角.

由PA=AB=a得BD=a,PB=a,∴sin∠BPD==.

∴∠BPD=arcsin,即PB与平面PAC所成的角为arcsin.

(2)由PC⊥平面AMN知PC⊥AN,MN⊥PC.

又△PAC为等腰直角三角形,PA=AC.

∴N为PC中点.PN=a.

在△BPC中,cos∠BPC==.

在Rt△MPN中,PM==a.

∴MB=a-a=a.∴=2.

(3)过N作NE⊥AM于E.连结PE.

∵PN⊥平面AMN,∴NE为PE在平面AMN上的射影.

∴PE⊥AM.∴∠PEN为二面角P-AM-N的平面角.

在△PAM中,∠APM=45°,AP=a,PM=a.

∴AM=a²+(=a.

∴AM·PE=PA·AM·sin∠APM.

∴PE= a·.

∴sin∠PEN===.∴∠PEN=arcsin,

即二面角P-AM-N的大小为arcsin.