Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2

3

，B=45°．
（Ⅰ）若b=2

2

，求角A的大小；
（Ⅱ）若cosA=

4

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，代入数据算出sinA=

3

2

，结合A为三角形的内角，可得角A的大小；
（II）由同角三角函数的基本关系，算出sinA=

3

5

，利用正弦定理算出边b=

5 6

3

．然后根据诱导公式与两角和的正弦公式算出sinC=

7 2

10

，利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

asinB

b

=

2 3 × 2 2

2 2

=

3

2

，
又∵a＞b，∴A=60°或A=120°．
（Ⅱ）∵△ABC中，cosA=

4

5

，∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

．
∴由正弦定理得：b=

a•sinB

sinA

=

2 3 × 2 2

3 5

=

5 6

3

．
由此可得sinC=sin[180°-（A+B）]
=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

7 2

10

，
∴△ABC的面积为：S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2

3

×

5 6

3

×

7 2

10

=7．…（13分）

点评：本题给出三角形一边与一角，在已知另一边的情况下求角的大小，并在cosA的情况下求三角形的面积．着重考查了正弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换等知识，属于中档题．