Question

下图(1)所示是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图(2)是这个三棱柱的平面展开图．当以A面作为底面放在桌面上时，水高2 cm，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积．此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等．棱柱的体积等于底面积乘以高，从图(2)可以看出，此棱柱的高JI为12 cm，梯形FJQP的下底FJ为3 cm，高QJ为2 cm．因为PTJQ是个长方形，所以QJ＝PT＝2 cm，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5 cm，这一来梯形FJQP的面积为 　　×(1.5＋3)×2＝4.5(cm2)，水的体积为4.5×12＝54(cm3)． 　　(2)以C面为底面时，水的体积与以C(即△EHI)为底面，高为所求值的棱柱的体积相等，△EHI的面积为×3×4＝6(cm2)， 　　此时水面的高度为54÷6＝9(cm)． 　　(3)以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系． 　　为方便起见，把C面适当放大成如下图所示情形，在图中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方形，故JQ、PT、QG的长都是2 cm，TJ、PQ的长为1.5 cm．因为FJ长为3 cm，所以FT的长也为1.5 cm，这一来△FPT与△PQG的形状一样，面积相等．这便说明原来以△PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以△PQG为底面，JI为高的装水的棱柱的体积是相等的．所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5 cm．

提示：

对该问题进行分类讨论，当以A、B、C不同的面为底时，在不同的情况下，应根据容器内的所盛水的多少来进行讨论．