Question

已知双曲线x²-=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点，

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

Answer 1

（1）解：设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k（x-1）.?

代入双曲线方程并整理，得（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k²-4k+6）=0.

设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），则?

x₁+x₂=.

由已知=1，

∴=2，解得k=1.

又k=1时，Δ=（2k²-4k）²+4（2-k²）（k²-4k+6）=16＞0,?

∴直线AB的方程为x-y+1=0.

（2）证明：设过Q（1，1）点的直线方程为?

y-1=k（x-1）.?

代入双曲线方程并整理，得（2-k²）x²-2k（1-k）x-（k²-2k+3）=0.?

由题知=2,解得k=2.

而当k=2时，Δ=［-2k（1-k）］²+4（2-k²）（k²-2k+3）=-8＜0.

∴这样的直线不存在.