Question

21. 已知a>0，n为正整数.

（Ⅰ）设y=（x－a）ⁿ，证明=n（x－a）^n－1；

（Ⅱ）设f_n(x)＝xⁿ－（x－a）ⁿ，对任意n≥a，证明（n+1）>(n+1)(n).

Answer 1

21.

证明：（Ⅰ）因为（x－a）ⁿ=(－a)^n－kx^k,

 

所以=k(－a)^n－kx^k－1＝n(－a)^n－kx^k－1=n(x－a)^n－1.

 

（Ⅱ）对函数f_n(x)=xⁿ－(x－a)ⁿ求导数：

　　　=nx^n－1－n(x－a)^n－1,

 

所以　＝n［n^n－1－ (n－a)^n－1］.

当x≥a>0时，＞0.

∴当x≥a时，＝xⁿ－（x－a）ⁿ是关于x的增函数.

因此，当n≥a时，（n+1）ⁿ－（n+1－a）ⁿ> n ⁿ－（n－a）ⁿ.

∴f（n+1）=（n+1）［（n+1）－（n+1－a）］＞（n+1）（nⁿ－（n－a）ⁿ）＞（n+1）

（nⁿ－n（n－a）^n－1）=（n+1）f_n′（n），

 

即对任意n≥a，f（n+1）＞（n+1）f_n′（n）.