Question

设β为锐角，若cos（β+

π

6

）=

3

5

，则cos（2β+

π

12

）=

17 2

25

．

Answer 1

分析：由cos（β+

π

6

）=

3

5

，求得sin（β+

π

6

）=

4

5

，利用两角差的正弦、余弦公式求得cosβ和sinβ的值，可得cos2β 与sin2β的值，再由两角和的余弦公式求得cos（2β+

π

12

）的值

解答：解：∵β为锐角，若cos（β+

π

6

）=

3

5

，则β+

π

6

为锐角，∴sin（β+

π

6

）=

4

5

，
∴cosβ=cos[（β+

π

6

）-

π

6

]=cos（β+

π

6

）cos

π

6

+sin（β+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

，
sinβ=sin[（β+

π

6

）-

π

6

]=sin（β+

π

6

）cos

π

6

-cos（β+

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

，
∴cos2β=2cos²β-1=

24 3 -7

50

，sin2β=2sinβcosβ=

7 3 +24

50

．
又∵sin

π

12

=

6 - 2

2

，cos

π

12

=

6 + 2

2

，
∴cos（2β+

π

12

）=cos2βcos

π

12

-sin2βsin

π

12

=

24 3 -7

50

•

6 + 2

2

-

7 3 +24

50

•

6 - 2

2

=

17 2

25

，
故答案为

17 2

25

．

点评：本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．