Question

在正方体AC₁中,M、N分别为A₁B₁、A₁D₁的中点,E、F分别为B₁C₁、C₁D₁的中点.

(1)求证平面AMN∥平面EFDB;

(2)求平面AMN与平面EFDB间的距离.

Answer 1

解:(1)∵AC₁是正方体,M、F分别为棱A₁B₁、D₁C₁的中点,

∴AM∥DF.又DF平面EFDB,

∴AM∥平面EFDB.

同理,AN∥平面EFDB,

而AM∩AN=A,

∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)取BB₁、CC₁的中点Q、P,

连结A₁Q、A₁P,

∵PQ∥BC,

∴PQ⊥面AB₁.

又∵M为A₁B₁的中点,

∴AM⊥A₁Q.由三垂线定理得A₁P⊥AM.

又PC₁⊥面A₁C₁,M、N分别为A₁B₁、A₁D₁的中点,

∴A₁C₁⊥MN.

由三垂线定理得A₁P⊥MN,而AM∩MN=M,

∴A₁P⊥面AMN.

由(1)知面AMN∥面EFDB,

∴A₁P⊥面EFDB.

设A₁P与这两个平行平面交于O₁、O₂,如图所示,则O₁O₂的长为两平行平面间的距离,在平行四边形AA₂A₃A₄中,O₁O₂=.