Question

已知定义在R上的函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-.

（1）求f(x)的解析式；

（2）当x∈［-1,1］时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.

Answer 1

解：（1）∵函数f(x)的图象关于原点对称，

∴f(x)为奇函数.

∴ f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立.

∴b=d=0.

∵f′(x)=3ax²+c,

∴f′(1)=3a+c=0,f(1)=a+c=-.

∴a=，c=-,因此f(x)=x³-x.

（2）由（1）得 f′(x)=x²-,

假设存在 x₁,x₂∈b［-1,1］,使得f′(x₁)·f′(x₂)=-1,

则(x₁²-)·(x₂²-)=-1,

∴(x₁²-1)·(x₂²-1)=-.

∵x₁,x₂∈［-1,1］,

∴-1≤x₁²-1≤0,-1≤x₂²-1≤0.

∴0≤(x₁²-1)(x₂²-1)≤1与(x₁²-1)·(x₂²-1)=-矛盾.

因此假设不成立，∴不存在这样的两点.