Question

函数y=ax²+（2a-1）x-3在区间[，2]上的最大值是3，则实数a=________．

Answer 1

1或-
分析：因二次项的系数是参数，故分三种情况求解；a=0时，函数y=-x-3是一次函数且为减函数，求出最大值与题意不符故舍去，当a＞0和a＜0时函数是二次函数，求出对称轴再根据对称轴与定区间的位置关系进行二次分类，再由二次函数的开口方向和对称轴与定区间的位置关系求出最大值，注意验证范围．
解答：如a=0时，函数y=-x-3在区间[，2]上的最大值为，不符合题意，故舍去；
若a＞0，则函数图象对称轴是，
当-1+≤时，即a≥，函数的最大值是f（2）=a•2²+（2a-1）•2-3=3，解得a=1；
当＜-1+＜2时，即＜a＜，函数的最大值是f（）=，
解得a=-6，故舍去．
当-1+≥2时，即0＜a≤，函数的最大值是f（）=，
解得a=-6，故舍去．
若a＜0，-1+＜0，当-1+≥时，即a≤-1，
函数的最大值是f（-1+）=a（-1+）（-1+）+（2a-1）（-1+）-3=3，
解得4a²+20a+1=0，即a=或a=，故a=；
当-1+＜时，即-1＜a＜0，
函数的最大值是f（）=，解得a=-6，故舍去．
综上，a的值为：1或．
点评：本题考查了含有参数的二次函数在定区间上的最值问题，分类的标准是：二次项的系数与零关系，根据对称轴与定区间的位置关系；再结合二次函数的图象求出对应的最值，注意范围的验证．