Question

21． 设a₀为常数，且a_n=3^n－1－2a_n－1（nN₊）.

（Ⅰ）证明对任意n≥1，a_n=［3ⁿ+（－1）^n－1·2ⁿ］+（－1）ⁿ·2ⁿa₀;

 

（Ⅱ）假设对任意n≥1有a_n>a_n－1，求a₀的取值范围.

Answer 1

21．

（Ⅰ）证法一：（ⅰ）当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

（ⅱ）假设当n=k（k≥1）等式成立，即

a_k=［3^k+（－1）^k－12^k］+（－1）^k2^ka₀，

那么a_k+1=3^k－2a_k

 

=3^k－［3^k+（－1）^k－12^k］－（－1）^k2^k+1a₀

=［3^k+1+（－1）^k2^k+1］+（－1）^k+12^k+1a₀，

也就是说，当n=k+1时，等式也成立.

根据（ⅰ）和（ⅱ），可知等式对任何nN₊成立.                  

 

证法二：如果设a_n－3ⁿ=－2（a_n－1－3^n－1），

 

用a_n=3^n－1－2a_n－1代入，可解出=.

所以是公比为－2，首项为a₁－的等比数列，

 

∴a_n－=（1－2a₀－）（－2）^n－1（nN₊），

即a_n=＋（－1）ⁿ2ⁿa₀.                                     

（Ⅱ）解法一：由a_n通项公式

a_n－a_n－1=+（－1）ⁿ3×2^n－1a₀，

 

∴a_n>a_n－1（nN₊）等价于

（－1）^n－1（5a₀－1）<（）^n－2（nN₊）.                 　　     ①

（ⅰ）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为

 

（－1）^2k－2（5a₀－1）<（）^2k－3，

即为a₀<（）^2k－3+.                                                    ②

②式对k=1，2，…都成立，有a₀<×（）^－1+=.                                               

（ⅱ）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为

（－1）^2k－1（5a₀－1）<（）^2k－2，

即为a₀>－×（）^2k－2+.                                             ③

③式对k=1，2，…都成立，有a₀>－×+=0.         　　                             

 

综上，①式对任意nN₊成立，有0<a₀<.

故a₀的取值范围为（0，）.                                       

解法二：如果a_n>a_n－1（nN₊）成立，特别取n=1，2有

a₁－a₀=1－3a₀>0，

 

a₂－a₁=6a₀>0，

 

因此　　 0<a₀<.                                                                

下面证明当0<a₀<时，对任意nN₊，有a_n－a_n－1>0.
由a_n通项公式

5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1+（－1）^n－13×2^n－1+（－1）ⁿ5×3×2^n－1a₀.

（ⅰ）当n=2k－1，k=1，2，…时，

5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1+3×2^n－1－5×3×2^n－1a₀>2×2^n－1+3×2^n－1－5×2^n－1=0. 

（ⅱ）当n=2k，k=1，2，…时，

5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1－3×2^n－1+5×3×2^n－1a₀>2×3^n－1－3×2^n－1≥0. 

 

故a₀的取值范围为（0，）.