Question

已知g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A在函数f(x)=log

3

(x+a)的图象上：
（1）求使g（x）=2对应的x值；
（2）若f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差数列，求x的值．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=2，变形后，利用零指数的运算法则求出x的值即可；
（2）由第一问求出的x的值，得到g（x）恒过定点A的坐标，由A在f（x）图象上，将A的坐标代入，利用对数的运算法则计算，得出a的值，确定出f（x）的解析式，进而根据f（x）解析式，利用对数的运算法则求出f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）的值，由f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将各自的值代入列出关于x的方程，求出方程的解即可得出x的值．

解答：解：（1）令g（x）=（a+1）^x-2+1=2，解得：x=2；（4分）
（2）由（1）得到g（x）图象恒过定点A（2，2），又A在f（x）图象上，
∴f（2）=2=

log

(2+a) 3

，解得：a=1，（6分）
∴f（x）=

log

( x+1) 3

，
∴f（

3

-1）=

log

3 3

=1，f（x-3）=

log

(x-2) 3

，f（x-5）=

log

(x-4) 3

，
又f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差数列，
∴2f（

3

-1）=f（x-3）+f（x-5），即

log

(x-2) 3

+

log

(x-4) 3

=2，
整理得：（x-2）（x-4）=3，即x²-6x+5=0，
解得：x=1或x=5，
又

x-2＞0 x-4＞0

，解得：x＞4，
则x的值为5．（12分）

点评：此题考查了等差数列的性质，对数的运算法则，对数函数的定义域，指数型复合函数的性质及应用，熟练掌握等差数列的性质及对数的运算法则是解本题的关键．