Question

已知函数f（x）=x²-（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，可先解出函数的导数f′（x）=x-（a+m）+，再由f′（1）=0建立方程即可求出m的值；
（2）由（1）可得f′（x）=x-（a+1）+==，比较a与1，0的大小，分为三类讨论得出函数f（x）的单调增区间．
解答：解：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+…（2分）
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，解得m=1．…（4分）
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+==…（6分）
当a＞1时，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此时f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）…（9分）
当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．…（11分）
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）．…（14分）
当a≤0时，由f′（x）＞0得x＞1，此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
综上，当a＞1时，f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）．…（16分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及分类讨论的思想及高次不等式的解法，解题的关键是理解导数的符号与函数单调性的对应，本题中解不等式也是一个计算难点，可分区间讨论解出不等式的解集从而得出函数的单调区间