Question

试证：一个命题与它的逆否命题是等价的.

 

Answer 1

答案：
解析：

这个题要分以下四种情况来证明. ①已知：命题“若有A，则有B”为真. 求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也真. 证明：假设“若无B，则无A”是假的，那么，‘若无B，则有A’就是真的，又已知‘若有A，则有B’，∴得‘若无B，则有A，若有A，则又有B’，即若无B，则又有B.这是一个同时无B又有B的自相矛盾的结果，∴命题“若无B，则无A”也真的. ②同理可证：如果“若无B，则无A”为真，那么“若有A，则有B”也真. ③已知：命题“若有A，则有B”为假. 求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也假. 证明：假设“若无B，则无A”是真的，那么，由②知‘若有A，则有B’也是真的，这个结果与已知条件“若有A，则有B”为假相矛盾，∴命题“若无B，则无A”是假的. ④同理可证：如果“若无B，则无A”为假，那么“若有A，则有B”也假. 综上所述，此题证毕.

提示：

所谓一个命题与它的逆否命题是等价的，是说这两个命题同真、同假.即有一个为真，二者都真；有一个为假，二者都假.