Question

正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为4

3

，则其外接球的体积是

 

．

Answer 1

分析：根据条件求出正六棱锥的底面边长，根据条件建立方程求出外接球的半径，即可求球的体积．

解答：解：∵正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为4

3

，
∴PA=3，AB=2

3

，
根据正六棱锥的对称性可知球心O在高PA上，
设半径为R，
则OA=PA-R=3-R，
∴在直角三角形OAB中，
OB²=OA²+AB²，
即R2=(3-R)2+(2

3

)2，
∴R²=9-6R+R²+12，
即R=

21

6

=

7

2

，
∴其外接球的体积是

4

3

×π×(

7

2

)3=

343

6

π，
故答案为：

343

6

π．

点评：本题主要考查球的体积的计算，根据正六棱锥对称性建立方程，求出球的半径是解决本题的关键．