Question

7．已知m∈R，设p：对?x∈[-1，1]，x²-2x-4m²+8m-2≥0恒成立；q：?x∈[1，2]，${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-mx+1）＜-1$成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围．

解答 解：若p为真：对?x∈[-1，1]，4m²-8m≤x²-2x-2恒成立，
设f（x）=x²-2x-2，配方得f（x）=（x-1）²-3，
∴f（x）在[-1，1]上的最小值为-3，
∴4m²-8m≤-3，
解得$\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$，
∴p为真时，$\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$；
若q为真：?x∈[1，2]，x²-mx+1＞2成立，
∴$m＜\frac{{{x^2}-1}}{x}$成立，
设$g（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，易知g（x）在[1，2]上是增函数，
∴g（x）的最大值为$g（2）=\frac{3}{2}$，
∴$m＜\frac{3}{2}$，
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，
∴p与q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}\\ m≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴$m=\frac{3}{2}$，
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}m＜\frac{1}{2}或m＞\frac{3}{2}\\ m＜\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴$m＜\frac{1}{2}$，
综上所述，m的取值范围为$m＜\frac{1}{2}$或$m=\frac{3}{2}$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．