Question

已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．

（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

（2）若存在点，使，试求的取值范围；

（3）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

Answer 1

（1）（2）（3）最小值为，最大值为1.

解析:

（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

       若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

       若，即，动点所在的曲线方程为.

（2）解法一：假设存在点，根据题意，以焦距为直径的圆与椭圆有公共点，

因此，，解得：

解法二：假设存在点，使，则

由，得

所以，，解得

(3)当时，其曲线方程为椭圆

     由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，的方程为

  解方程组得，

  同理可求得，  

  面积=   

令则

令

所以，即    

当时，可求得,故，

故的最小值为，最大值为1.