Question

已知函数f(x)=Asin²(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜),且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).

(1)求φ;

(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).

Answer 1

(1)解：y=Asin²(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ).

∵y=f(x)的最大值为2,A＞0,

∴+=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0,

∴()=2,ω=.

∴f(x)= -cos(x+2φ)=1-cos(x+2φ).

∵y=f(x)过(1,2)点,∴cos(+2φ)=-1.∴+2φ=2kπ+π,k∈Z.

∴2φ=2kπ+,k∈Z.∴φ=kπ+,k∈Z.

又∵0＜φ＜,∴φ=.

(2)解法一:∵φ=,

∴y=1-cos(x+)=1+sinx.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

又∵y=f(x)的周期为4,2 008=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

解法二:∵f(x)=2sin²(x+φ),

∴f(1)+f(3)=2sin²(+φ)+2sin²(+φ)=2,

f(2)+f(4)=2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.

又y=f(x)的周期为4,2 008=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.