Question

设函数f（n）=（2n+9）•3ⁿ⁺¹+9，当 n∈N^*时，f（n）能被m（m∈N^*）整除，猜想m的最大值为（　　）

A．9

B．18

C．27

D．36

Answer 1

分析：可计算f（1）=108=36×3，f（2）=360=36×10，f（3）=136×9=36×34，可猜想f（n）=（2n+9）•3ⁿ⁺¹+9能被36整除，利用数学归纳法证明即可．

解答：解：∵f（1）=108=36×3，f（2）=360=36×10，f（3）=136×9=36×34，可猜想f（n）=（2n+9）•3ⁿ⁺¹+9能被36整除，m的最大值为36．
证明：（1）当n=1时，f（1）=108=36×3，猜想成立；
（2）假设n=k时，f（k）=（2k+9）•3^k+1+9能被36整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+9]•3^（k+1）+1+9
=（2k+9）•3^（k+1）+1+2•3^（k+1）+1+9
=[3（2k+9）•3^k+1+9]+6•3^k+1
=3[（2k+9）•3^k+1+9]-18+18•3^k
=3[（2k+9）•3^k+1+9]+18（3^k-1）（k≥1，k∈N^*），
∵f（k）=（2k+9）•3^k+1+9能被36整除，
∴3[（2k+9）•3^k+1+9]能被36整除，①
又k≥1，k∈N^*，
∴3^k-1能被2整除，18（3^k-1）能被36整除，②
由①②知，f（k+1）=3[（2k+9）•3^k+1+9]+18（3^k-1）（k≥1，k∈N^*）能被36整除，
即n=k+1时猜想也成立，
由（1）（2）知，f（n）=（2n+9）•3ⁿ⁺¹+9能被36整除，m的最大值为36．
故选：D．

点评：本题考查数学归纳法的应用，猜想f（n）=（2n+9）•3ⁿ⁺¹+9能被36整除是关键，运算难点，考查推理、论证的能力，属于难题．