Question

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”．

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．

（2）写出其逆否命题，并证明你的结论．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）逆命题是：若，则，它是成立的，可用反证法证明它． 　　假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a．因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，则f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），所以f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与条件矛盾，所以逆命题为真． （2）逆否命题是：若f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），则a＋b＜0．它为真，可证明原命题为真来证明它． 　　因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a；因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，所以f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），所以f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．所以逆否命题为真．