Question

已知点列P₁(x₁，x),P₂(x₂，2)，…，P_n(x_n，n)…，且与向量a=(2ⁿ，1)共线，n∈N^*，设x₁=1.

(Ⅰ)求x_n的表达式；

(Ⅱ)确定n的值，使点P_n在直线x-ny=0的下方，并加以证明.

Answer 1

解:(Ⅰ)由=(x_n+1-x_n,1)与a=(2ⁿ,1)共线，得x_n+1-x_n=2ⁿ,

∴xⁿ=x₁+(x₂-x₁)+(x₃-x₂)+…+(x_n-x_n-1)

   =1+2+2²+…+2^n-1

   ==2ⁿ-1,

上式对n=1也成立，或x_n=2ⁿ-1 

(Ⅱ)点P_n在直线x-ny=0的下方的充要条件是

2ⁿ-1-n²＞0,亦即2ⁿ＞n²+1. 

当n=1,2,3,4时，上面不等式不成立.

当a≥5时，

2ⁿ=

≥

=1+n++n+1

=n²+n+2＞n²+1

因此，n的取值为n≥5,n∈N^*. 

(也可用数学归纳法证明：当n≥5时，2ⁿ＞n²+1).